RPS - Schemat klasyczny - zadania

I. Zadania elementarne Zad. 1. Losujemy 2 kule spośród m czerwonych i n białych. Jakie jest prawdopodobieńswo wylosowania kul różnych kolorów? Przerobione na ćw. 1. Zad. 2. 90-osobowy rocznik został podzielony losowo na 3 potoki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Jaś i Małgosia znajdą się w tym samym potoku? Ćw. 1. Zad. 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowym ustawieniu n wież na szachownicy nxn żadne 2 wieże się nie atakują? Ćw. 1. Zad. 4. Rozdajemy 7 kard ze standardowej talii 52 kart. Jakie prawdopodobieństwo, że wśród tych kart jest: (a) dokładnie 3 asy? (b) dokładnie 2 króle? (c) dokładnie 3 asy lub dokładnie 2 króle? Zad. 5. Rzucamy trzema kostkami. 11 i 12 można uzyskać na tyle samo sposobów. Czy są one równie prawdopodobne? Ćw. 1. Zad. 6. Jaś i Małgosia rzucają monetami. Jaś n razy, Małgosia n+1, jakie jest prawdopodobieństwo, że Małgosi wypadnie więcej orłów niż Jasiowi? II. Zadania trudniejsze i bardziej koncepcyjne Zad. 1. W klasie jest n osób. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że każda osoba ma urodziny innego dnia? Wskazówka: e^x \approx 1 + x dla małych x. Zad. 2. 10 osób wsiadło na parterze do pustej windy. Budynek ma 10 pięter. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że każda wysiądzie na innym piętrze (zakładamy, że każdy układ wysiadających jest równie prawdopodobny)? Ćw. 1. Zad. 3. n listów włożono losowo do n zaadresowanych kopert (każdy list ma swojego docelowego adresata; wszyscy adresaci są różni). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że: (a) żaden list nie trafił do właściwej koperty? (b) dokładnie k listów trafiło do właściwych kopert? Wskazówka: Zasada włączeń i wyłączeń. W pierwszym pytaniu warto zwrócić uwagę na to co się dzieje dla dużego n. Zad. 4. Optymalizacja żony Szukamy optymalnej żony. Mamy szansę spotkać n kobiet w życiu, które możemy porównywać według "dobrości" (biorąc pod uwagę wiek, charakter, poczucie humoru, urodę etc). Jesli nie wybierzemy k-tej kolejnej kandydatki to juz wiecej jej nie zobaczymy. 0. Jaką przyjąć strategię i czemu? Wskazówka 1: jakie informacje mamy dostępne oglądając k-tą kandydatkę? 1. Po obejrzeniu ustalonego s kandydatek, jaką mamy szanse na to, że znajdziemy najlepszą? Wskazówka 2: Interesują nas ciągi permutacji, dla których, dla pewnego k, s<= k <= n: (a) max jest na pozycji k (b) max sposrod pierwszych k-1 jest w pierwszych s-1. 2. Jakie powinno być s aby prawdopodobieństwo znalezienia najlepszej było jak największe? Jakie jest to prawdopodobieństwo? Wskazówka 3: \sum_{k=1}^{n} 1/k = H_n \approx ln(n) + stała Eulera. Ćw. 1 i 2. Zad. 5. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie co najmniej 1 szóstki w 6 rzutach, co najmniej 2 szóstek w 12 rzutach, czy co najmniej 3 szóstek w 18 rzutach?